RECONOCIMIENTO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

junio 08, 2020

RECONOCIMIENTO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Tipos de triángulo rectángulo

Hay dos tipos de triángulo rectángulo, según los dos ángulos águdos:

3.3. Teoremas basados en los triángulos rectángulos | Contenidos

Triángulo rectángulo isósceles: tiene un ángulo recto (90º) y dos ángulos de 45º. Los dos catetos son iguales.
Triángulo rectángulo escaleno: tiene todos los ángulos diferentes (siendo uno de ellos de 90º). Los lados también son diferentes.
Altura del triángulo rectángulo
Las alturas del triángulo rectángulo asociadas a los catetos (a y b) son el cateto opuesto correspondiente. Por lo tanto, h_a=b y h_b=a. La altura asociada a la hipotenusa es h_c.

Las tres alturas confluyen en el ortocentro, H en el vértice C del ángulo recto.

Para calcular la altura asociada al lado c (la hipotenusa) se recurre al teorema de la altura.
La altura h (o h_c) puede obtenerse conociendo los tres lados del triángulo rectángulo.

Área de un triángulo rectángulo
El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). Su área es la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto (catetos a y b).
Perímetro de un triángulo rectángulo
El perímetro de un triángulo rectángulo es la suma de los tres lados.
El triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras, por lo que la hipotenusa (c) se puede expresar a partir de los catetos (a y b).
En la resolución de triángulos rectángulos nos encontramos 4 casos:
Se conocen la hipotenusa y un cateto
Supongamos que se conoce la hipotenusa ${a}$ y el cateto ${b}$ Supongamos que se conoce la hipotenusa ${a}$ y el cateto ${b}$ . Para encontrar el cateto faltante y los dos ángulos agudos, calculamos.
Para encontrar el cateto faltante y los dos ángulos agudos, calculamos.
${sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B=arcsen\left( \frac{b}{a}\right)}$
Ejemplos:
${sen\; B = \displaystyle\frac{280}{415}=0.6747 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B=arcsen(0.674)=42^{o}\; 25'}$
Se conocen los dos catetos:
Para encontrar la hipotenusa y los dos ángulos agudos, calculamos.
${tg\; B = \displaystyle\frac{b}{c} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B=arctg\left( \frac{b}{c}\right)}$
Otra forma de calcular la hipotenusa ${a}$ es mediante el Teorema de Pitágoras.
${a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}}$
Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo ${b=33\; m}$ y ${c=21\; m}$ .

Calculamos la hipotenusa y los dos ángulos agudos.
Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
Supongamos que se conoce la hipotenusa ${a}$ y el ángulo agudo ${B}$ . Para encontrar el ángulo agudo restante y los catetos, calculamos.
${C=90^{o}-B}$ ${sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b=a\; sen\; B}$ ${cos\; B = \displaystyle\frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=a\; cos\; B}$
Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo ${a=45\; m}$ y ${B=22^{o}}$ .

Calculamos el ángulo agudo restante y los catetos
${C=90^{o}-22^{o}=68^{o}}$ ${sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b=45\; sen(22^{o})}=16.85\; m}$
${cos\; B = \displaystyle\frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=45\; cos(22^{o})}=41.72\; m}$
Se conocen un cateto y un ángulo agudo
${C=90^{o}-B}$
Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo ${b=5.2\; m}$ y ${B=37^{o}}$ .

Calculamos el ángulo agudo, el cateto restante y la hipotenusa
${C=90^{o}-37^{o}=53^{o}}$ ${sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=\displaystyle\frac{5.2}{sen(37^{o})}=8.64\; m}$ ${cotg\; B = \displaystyle\frac{c}{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=(5.2) cotg(37^{o})=6.9\; m}$
Los triángulos son polígonos que cuentan con tres lados. Cabe recordar que los polígonos son figuras planas, delimitadas por segmentos (es decir, por sus lados). El triángulo, por lo tanto, es una figura plana formada por tres segmentos.
El ángulo recto en el triángulo rectángulo está formado por los dos lados de menor longitud, conocidos como catetos, mientras que el tercer lado (el de mayor extensión) recibe el nombre de hipotenusa. Las propiedades de estos triángulos señalan que la longitud de la hipotenusa siempre resulta menor que la suma de los catetos. La hipotenusa, por otra parte, siempre es más extensa que cualquiera de los dos catetos.
Cabe destacar que los triángulos rectángulos pueden ser triángulos isósceles (los dos catetos tienen la misma extensión: es decir, son iguales) o triángulos escalenos (la extensión de cada lado es diferente a las de los dos restantes).

Por otra parte, si deseamos calcular el área de un triángulo rectángulo, podemos apelar a la siguiente fórmula:

Área = (Cateto x Cateto) / 2
Cuando trazamos la altura relativa a la hipotenusa, el triángulo rectángulo se convierte en tres triángulos: el original más los dos que contiene (según se observa en la imagen). Esto da lugar a ciertas relaciones métricas. Por ejemplo, la suma de ambas proyecciones es igual a la hipotenusa (a = m + n). También es correcto decir que el producto de las dos proyecciones es igual al cuadrado de la hipotenusa, ya que h/m = n/h, y si despejamos h nos da hh = mn.

El producto entre la proyección de un cateto y la hipotenusa es igual al cuadrado de dicho cateto: b/a = m/b => bb = am. Por último, el producto de los catetos es igual a la altura relativa multiplicada por la hipotenusa: a/c = b/h => ah = bc.
Referencias
https://definicion.de/triangulo-rectangulo/
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/triangulo-rectangulo/